✨ محاسبه تعداد پاره‌خط‌ها با 18 نقطه ✨

📐📏

🤔 عنوان مسئله

تعداد پاره‌خط‌هایی که می‌توان با اتصال 18 نقطه روی یک خط ایجاد کرد را محاسبه کنید. 🚀

💡 روش اول: استدلال ترکیبیاتی

برای تشکیل یک پاره‌خط، به دو نقطه نیاز داریم. بنابراین، مسئله ما در واقع انتخاب 2 نقطه از بین 18 نقطه موجود است. این یک مسئله‌ی ترکیب است و می‌توانیم از فرمول زیر برای محاسبه‌ی تعداد حالت‌ها استفاده کنیم:

C (n, k) = \frac{n}{!} (n - k)!

در اینجا، n تعداد کل نقاط (18) و k تعداد نقاطی است که برای تشکیل یک پاره‌خط انتخاب می‌کنیم (2). بنابراین:

C (18, 2) = \frac{18}{!} (18 - 2)! = \frac{18}{!} 16! = \frac{18}{\times} = 153

بنابراین، می‌توان 153 پاره‌خط با اتصال 18 نقطه روی یک خط ایجاد کرد. 🎉

🌟 روش دوم: فرمول مستقیم

یک فرمول مستقیم برای محاسبه تعداد پاره‌خط‌ها وجود دارد که به صورت زیر است:

N = \frac{n}{(} / 2

در اینجا، n تعداد نقاط است. با جایگذاری 18 در فرمول:

N = \frac{18}{(} / 2 = \frac{18}{\times} / 2 = 306 / 2 = 153

همانطور که می‌بینید، نتیجه با روش اول یکسان است. 💫

🌈 روش سوم: تفکر گام به گام

بیایید مسئله را گام به گام بررسی کنیم. نقطه اول می‌تواند با 17 نقطه دیگر متصل شود تا 17 پاره‌خط ایجاد کند. نقطه دوم می‌تواند با 16 نقطه باقی‌مانده (به جز نقطه اول که قبلاً استفاده شده) متصل شود تا 16 پاره‌خط جدید ایجاد کند. به همین ترتیب، نقطه سوم می‌تواند با 15 نقطه دیگر متصل شود و غیره.

اگر این روند را ادامه دهیم، مجموع تعداد پاره‌خط‌ها برابر است با:

17 + 16 + 15 + \dots + 1

این یک سری حسابی است که می‌توانیم از فرمول زیر برای محاسبه‌ی مجموع آن استفاده کنیم:

S = \frac{n}{(})

در اینجا، n تعداد جملات (17)، a₁ جمله اول (17) و a_n جمله آخر (1) است. بنابراین:

S = \frac{17}{(} / 2 = \frac{17}{\times} / 2 = 306 / 2 = 153

باز هم، نتیجه 153 است. ✨

📚 اصطلاحات کلیدی

ترکیب (Combination): انتخاب تعدادی از اشیاء از یک مجموعه بدون در نظر گرفتن ترتیب.
سری حسابی (Arithmetic Series): دنباله‌ای از اعداد که اختلاف بین هر دو جمله متوالی ثابت است.
فاکتوریل (Factorial): حاصل ضرب تمام اعداد صحیح مثبت کوچکتر یا مساوی یک عدد مشخص.

💡 کاربردهای این مسئله

این نوع مسائل در زمینه‌های مختلفی از جمله علوم کامپیوتر، آمار و احتمال و طراحی الگوریتم‌ها کاربرد دارند. به عنوان مثال، در شبکه‌های کامپیوتری، برای محاسبه تعداد اتصالات ممکن بین گره‌ها می‌توان از این فرمول استفاده کرد.